Résumé du cours : Ce cours est destiné aux méthodes de décomposition de domaines et ses applications. Il s’agit de manipuler les méthodes suivantes :

1. Méthodes classiques Schwarz
2. Méthodes Dirichlet-Neumann, Neumann-Neumann et Schwarz optimisé
3. Variantes de relaxation de forme d'onde des méthodes ci-dessus et pré-conditionnement
4. Evolutivité et corrections d'espace grossier

Dans chaque partie, il y aura des exercices et des illustrations numériques.

Résumé du cours : La méthode Discontinue Galerkin est une classe de méthodes d'éléments finis utilisant un espace polynomial par morceaux complètement discontinu pour la solution numérique et les fonctions de test. Les flux numériques constituent l'ingrédient clé de cette méthode pour obtenir des schémas très précis et stables dans de nombreuses situations difficiles. Dans ce rapport, nous présenterons la discrétisation discontinue de Galerkin de la loi de diffusion-conservation en suivant l'approche classique introduite par Cockburn et Shu et en utilisant le Galerkin discontinu direct donné par Cheng et Shu.

Résumé du cours : DDFV schémas ont été développés à la fin des années 90 pour s'attaquer aux problèmes elliptiques linéaires ou non linéaires pour des maillages plus généraux. Ces méthodes sont particulièrement flexibles et robustes en termes d’approximation du gradient. Dans ce cours, nous allons présenter la méthode, voir comment l’implémenter facilement et enfin, montrer certaines applications complexes de DDFV.

Résumé du cours : Le but de ce cours est de proposer une approche rapide et concise des problèmes inverses. Après une partie introductive, une étude sera concentrée sur les opérateurs de type parabolique pour présenter quelques techniques autour d’un problème élémentaire :

• La méthode de l’opérateur Dirichlet to Neumann
• L’approche via les inégalités de Carleman
• Et i conclura avec une technique récente utilisant des observations ponctuelles

Dans chaque partie, il y aura des exercices et des illustrations numériques.

Résumé du cours : Dans la première partie du cours, quelques résultats récents sur la contrôlabilité de systèmes d’équations paraboliques seront présentés lorsque le contrôle est exercé dans une partie du domaine (contrôle distribué) ou sur une partie de la limite du domaine. (contrôle frontière). Dans les deux cas, quelques généralisations de la condition algébrique de Kalman qui caractériseront les propriétés de contrôlabilité d'une classe de systèmes paraboliques seront données ici. Comme les propriétés de contrôlabilité distribuée et frontière des systèmes paraboliques couplés ne sont généralement pas équivalentes, alors dans cette partie on sera ramené à travailler avec les estimations de Carleman et la méthode des moments de Fattorini-Russell.

Dans la seconde partie du cours, quelques nouveaux phénomènes qui surviennent dans le cadre des problèmes de contrôlabilité pour les systèmes paraboliques non scalaires seront étudiés. D'une part, nous verrons que la propriété de contrôlabilité dépend de la position géométrique du support du terme de couplage lorsque ce support ne coupe pas le domaine de contrôle. D'un autre côté, nous verrons que, même si le problème considéré est parabolique, un temps de contrôlabilité minimal explicite apparaît.

A la fin, le cours proposera quelques généralisations et problèmes ouverts.

Résumé du cours : On considère dans ce cours des versions discrétisées de problèmes paraboliques contrôlés scalaires ou vectoriels (comme ceux qui vont être discutés dans le cours de Prof. Dr. Gonzalez-Burgos par exemple). On étudiera un certain nombre de résultats qui montrent que ces systèmes sont (ou pas) contrôlables à zéro et qui donnent éventuellement des bornes sur les contrôles et sur les solutions contrôlées correspondantes uniformes en les paramètres de discrétisation. Les aspects algorithmiques associés seront discutés et des illustrations numériques seront données et pourront faire l'objet de travaux pratiques.

Plusieurs séances d’exercices ou (et) de travaux pratiques sont organisés par nos conférenciers dans chaque demi.

1. Les séances d’exercices sont proposées aux participants sous formes de problèmes ou de mini-projets pour compléter l’approche théorique des 4 thématiques du projet. Il s’agira plus précisément de séances d’exercices :
   
   
   • Sur les volumes finis et décomposition de domaines -[CI 2]-,
     
     
   • Sur les estimations de Carleman et les inégalités de stabilité pour quelques problèmes inverses -[CA 1]- ;
     
     
   • Sur les inégalités d’observabilité et le contrôle de certains systèmes paraboliques-[CA 2]- ;
     
     
   • Etc.
     
     
2. Des séances de travaux pratiques sont organisées pour approfondir l’approche numérique de quelques axes de la thématique via MatLab, Maple, freefem++ et autres logiciels conçus pour l’optimisation -[CI 1], [CI 2], -[CI 3], -[CA 3]-
   
   
3. 4 exposés (2 femmes et 2 hommes) d’un niveau plus élevés (d’une 1 heure chacun) correspondant à chaque thématique du projet sont proposés pour approfondir les connaissances, s’ouvrir sur de nouvelles perspectives et éventuellement envisager des futures collaborations.